Question

首项为1的正项等比数列{a_n}的前100项满足S_奇=

1

3

S_偶，那么数列{

log3an

an

}（　　）

• A、先单增，再单减
• B、单调递减
• C、单调递增
• D、先单减，再单增

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，代入数列{

log3an

an

}，分析可知

log3a2

a2

＞

log3a1

a1

，当n≥2时，

log3an+1

an+1

＜

log3an

an

．从而得到答案．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
q=1时不满足题意，则q≠1．
则前100项中S奇=

1×(1-q100)

1-q2

，S偶=

q(1-q100)

1-q2

．
由S_奇=

1

3

S_偶，得

1×(1-q100)

1-q2

=

1

3

×

q(1-q100)

1-q2

，
解得：q=3．
∴an=a1qn-1=3n-1．
则

log3an

an

=

log33n-1

3n-1

=

n-1

3n-1

．
由

n 3n

n-1 3n-1

＞1，得n＜

3

2

，
∴n=1．
则只有

log3a2

a2

＞

log3a1

a1

，
当n≥2时，

log3an+1

an+1

＜

log3an

an

．
∴数列{

log3an

an

}先单增后单减．
故选：A．

点评：本题考查等比数列的前n项和，考查了对数的运算性质，考查了数列的函数特性，是中档题．