Question

13．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-3y≥-2\\ 3x-3y≤4\\ x+y≥1\end{array}\right.$，若x²+9y²≥a恒成立，则实数a的最大值为$\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 根据不等式恒成立转化为求出z=x²+9y²的最小值即可，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=x²+9y²，则z＞0，
即$\frac{{x}^{2}}{z}+\frac{{y}^{2}}{\frac{z}{9}}$=1，则对应的曲线是焦点在x轴上的椭圆，
由图象知当直线x+y=1与椭圆相切时，z最小，
将y=1-x代入z=x²+9y²，整理得10x²-18x+9-z=0，
则判别式△=18²-4×10（9-z）=0，
解得z=$\frac{9}{10}$，
即z的最小值为$\frac{9}{10}$，
则a≤$\frac{9}{10}$，
则a的最大值为$\frac{9}{10}$，
故答案为：$\frac{9}{10}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据不等式恒成立，转化为求z=x²+9y²的最小值，利用数形结合结合直线和椭圆的位置关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．