Question

2．已知A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），若四边形PABN的周长最小，则△APN的外接圆的圆心坐标是$（3，-\frac{9}{8}）$．

Answer 1

分析 根据两点之间的距离公式，列出四边形PABN的周长关于a的表达式，得到x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和最小时，四边形PABN的周长也最小．利用对称思想结合直线方程的求法，可得a值为$\frac{5}{2}$时，四边形PABN的周长最小．从而得到P、N的坐标，再用直线方程的一般式，求出经过三点A、P、N的圆方程，从而得到圆心的坐标．

解答 解：四边形PABN的周长为
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（4-1）^{2}+（0+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$+1
=$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{13}$1，
只需求出$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$的最小值时的a值．
由于$\sqrt{（a-1）^{2}+（1+2）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{（a-3）^{2}+（0-1）^{2}}$，
表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．
利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，-3）与（3，1）间的距离，
且取得最小的a值为E（1，-3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，
∵直线EF的斜率k=$\frac{1+3}{3-1}$=2，∴直线EF方程为y+3=2（x-1），化简得y=2x-5，
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，所以此时a值为$\frac{5}{2}$
由以上的讨论，得四边形PABN的周长最小时，P（$\frac{5}{2}$，1），N（$\frac{7}{2}$，1）
设过三点A、P、N的圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
可得$\left\{\begin{array}{l}{1+4+D-2E+F=0}\\{\frac{25}{4}+1+\frac{5}{2}D+E+F=0}\\{\frac{49}{4}+1+\frac{7}{2}D+E+F=0}\end{array}\right.$，解之得D=-6，E=$\frac{9}{\;}$，F=$\frac{11}{2}$
∴过三点A、P、N的圆方程为x²+y²-6x+$\frac{9}{4}$y+$\frac{11}{2}$=0，可得圆心坐标为（3，-$\frac{9}{8}$）
故答案为：（3，-$\frac{9}{8}$）．

点评 本题以四边形周长取最小值为载体，求经过三点圆的圆心坐标，着重考查了直线的方程、圆方程求法等知识，属于中档题．