Question

4．已知点P在以F₁、F₂为焦点的双曲线上，且$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0，∠P{F_1}{F_2}={30°}$，则双曲线的离心率（　　）

• A． $1+\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可知：PF₂⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=30°，求得|PF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$c，|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，由双曲线的性质可知：|PF₁|-|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c=2a，求得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．

解答 解：设双曲线的焦距长为2c，
∵点P为双曲线上一点，且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，
∴PF₂⊥F₁F₂，
由∠PF₁F₂=30°，
∴|PF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$c，|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
∴|PF₁|-|PF₂|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c=2a，a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{3}c}$=$\sqrt{3}$，
故答案选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．