Question

16．如图，已知正三棱锥的侧棱长为2，底面周长为9．
（1）求这个正三棱锥的体积；
（2）求这个正三棱锥的外接球的体积．

Answer 1

分析 （1）由正三棱锥的底面周长可知底面三角形的边长，可求出底面△ABC的面积，顶点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，又在Rt△SOC中，由勾股定理求得高SO，这样可以求得三棱锥的体积；
（2）由CO＞SO，在平面SOC内作SC的垂直平分线交SO的延长线于M，则M为正三棱锥的外接球的球心，连接MC，设MC=R，求出OM，再由SM=CM求得R，代入球的体积公式得答案．

解答 解：（1）如图：∵S-ABC为正三棱锥，
∴S在平面ABC上的射影为△ABC的中心O．
又SC=2，△ABC的周长是L_△ABC=9，∴AB=3，
连接CO并延长交AB于D，则CD⊥AB，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CO=$\frac{2}{3}$•CD=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥的高SO=$\sqrt{S{C}^{2}-C{O}^{2}}$=1；
∴三棱锥的体积V_S-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3$×sin60°×1=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）在平面SOC内作SC的垂直平分线交SO的延长线于M，则M为正三棱锥的外接球的球心，
连接MC，设MC=R，则OM=$\sqrt{{R}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{{R}^{2}-3}$，
由SM=CM，得$（1+\sqrt{{R}^{2}-3}）^{2}={R}^{2}$，解得：R²=4，R=2．
∴这个正三棱锥的外接球的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{4}{3}π×8=\frac{32}{3}π$．

点评 本题考查了正三棱锥的体积，考查正三棱锥外接球体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．