Question

12．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+2$，试求：
（1）函数f（x）的最小正周期及x为何值时f（x）有最大值；
（2）函数f（x）的单调递增区间；
（3）若方程f（x）-m+1=0在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦函数图象的周期求法和最值的求法解答；
（2）由正弦函数的单调区间解答；
（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=m-1在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有交点，根据正弦函数的定义域和值域求出f（x）的值域，可得m的范围．

解答 解：（1）$T=\frac{2π}{|w|}=\frac{2π}{2}=π$．
令$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
解得$x=\frac{π}{8}+kπ（k∈Z）$，
即$x=\frac{π}{8}+kπ（k∈Z）$时，f（x）有最大值．
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
∴$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ（k∈Z）$，
∴函数f（x）的单调增区间为 $[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]（k∈Z）$．）
（3）方程f（x）-m+1=0在$x∈[0，\frac{π}{2}]$上有解，等价于两个函数y=f（x）与y=m-1的图象有交点．                            
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，
∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{4}）≤1$，
即得$\frac{3}{2}≤f（x）≤2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{3}{2}≤m-1≤2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴m的取值范围为$[\frac{5}{2}，3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

点评 本题主要考查正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性、单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．