Question

20．抛物线y²=8x的焦点为F，过F作直线l交抛物线于A、B两点，设$|{\overrightarrow{FA}}|=m，\overrightarrow{|{FB}|}=n$，则m•n的取值范围为（　　）

• A． （0，4]
• B． （0，16]
• C． [16，+∞）
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 ①当直线斜率存在时，设过焦点直线方程为y=k（x-2），求得$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$，代入椭圆方程，求得∴m•n=-（x₁-2，k（x₁-2））•（x₂-2，k（x₂-2））=16（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）＞16，②当直线斜率不存在时，x₁=x₁=2，y₁=4，y₁=-4，此时m•n=丨$\overrightarrow{FA}$丨•丨$\overrightarrow{FB}$丨=16；即可求得则m•n的取值范围．

解答 解：已知抛物线方程为y²=8x，故焦点坐标为F（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线斜率存在时，设过焦点直线方程为y=k（x-2），A（x₁，k（x₁-2）），B（x₂，k（x₂-2）），
$\overrightarrow{FA}$=（x₁-2，k（x₁-2）），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-2，k（x₂-2）），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（8+4k²）x+4k²=0，
由韦达定理得x₁+x₂=$\frac{8+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=丨$\overrightarrow{FA}$丨•丨$\overrightarrow{FB}$丨cos180°=-丨$\overrightarrow{FA}$丨•丨$\overrightarrow{FB}$丨=-m•n，
∴m•n=-（x₁-2，k（x₁-2））•（x₂-2，k（x₂-2））=-（k²+1）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=-（k²+1）（4-2×$\frac{8+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$+4）=16（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）＞16，
②当直线斜率不存在时，x₁=x₁=2，y₁=4，y₁=-4，此时m•n=丨$\overrightarrow{FA}$丨•丨$\overrightarrow{FB}$丨=16；
综上，m•n的取值范围为[16，+∞），
故选C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．