Question

9．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+ax+b（a，b∈R）$在x=2处取得极小值$-\frac{4}{3}$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若$f（x）\;≤{m^2}+m+\frac{22}{3}$在[-4，3]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），根据f（x）在x=2处取得极小值得到关于a，b的方程组，这样即可求出a，b；
（2）只要使$\frac{1}{3}$x³-4x+4的最大值小于等于m²+m+$\frac{22}{3}$，所以求出这个最大值即可求得m的取值．

解答 解：（1）f′（x）=x²+a，由已知条件得：$\left\{\begin{array}{l}{4+a=0}\\{\frac{8}{3}+2a+b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得a=-4，b=4；
令f′（x）=x²-4＞0，得x＜-2，或x＞2；
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；
（2）要使$\frac{1}{3}$x³-4x+4≤m²+m+$\frac{22}{3}$在[-4，3]上恒成立，
只要使f_max（x）≤m²+m+$\frac{22}{3}$；
由（1）知f（x）在（-2，2）上是减函数，在[-4，-2]及[2，3]上是增函数，
且f（-2）=$\frac{28}{3}$，f（3）=1，
∴f（x）在[-4，3]上的最大值是$\frac{28}{3}$；
∴m²+m+$\frac{22}{3}$≥$\frac{28}{3}$，解得m≤-2，或m≥1．

点评 考查极值的概念，根据导数求函数极值，进而求最值的方法及解一元二次不等式．