Question

9．已知曲线C：f（x）=2x³-3px²．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线C在A，B两点处的切线平行，求证：曲线C关于线段AB中点M对称．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，对p讨论，分p=0，p＞0，p＜0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由曲线C在A，B两点处的切线平行，可得6x₁²-6px₁=6x₂²-6px₂，即为x₁+x₂=p，再由结论：若f（x）+f（2a-x）=2b，即有f（x）关于点（a，b）对称，化简整理，即可得证．

解答 解：（1）f（x）=2x³-3px²的导数为f′（x）=6x²-6px=6x（x-p），
当p=0，即f′（x）=6x²≥0，f（x）在R上递增；
当p＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞p或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜p；
当p＜0时，由f′（x）＞0，可得x＞0或x＜p；由f′（x）＜0，可得p＜x＜0．
综上可得，p=0时，f（x）的增区间为R；
p＞0时，f（x）的增区间为（p，+∞），（-∞，0）；减区间为（0，p）；
p＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞），（-∞，p）；减区间为（p，0）；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由曲线C在A，B两点处的切线平行，可得
6x₁²-6px₁=6x₂²-6px₂，即为x₁+x₂=p，
AB的中点为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{p}{2}$，
由y₁+y₂=2x₁³-3px₁²+2x₂³-3px₂²=2（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]-3p[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]
=2p（p²-3x₁x₂）-3p（p²-2x₁x₂）=-p³，
f（x）+f（p-x）=2x³-3px²+2（p-x）³-3p（p-x）²
=2p[x²+（p-x）²-x（p-x）]-3p[p²-2x（p-x）]
=2p[p²-3x（p-x）]-3p[p²-2x（p-x）]=-p³，
即有f（x）+f（p-x）=y₁+y₂，
即有曲线C关于点（$\frac{p}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）对称，即线段AB中点M对称．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数的对称性的判断，注意运用结论f（x）+f（2a-x）=2b，即有f（x）关于点（a，b）对称，考查化简整理的运算能力，属于中档题．