Question

已知坐标平面内⊙C：(x+1)2+y2=

1

4

，⊙D：(x-1)2+y2=

49

4

．动圆P与⊙C 外切，与⊙D内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹C₁的方程；
（2）若过D点的斜率为2的直线与曲线C₁交于两点A、B，求AB的长；
（3）过D的动直线与曲线C₁交于A、B两点，线段AB中点为M，求M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,与直线有关的动点轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据动圆P与⊙C 外切，与⊙D内切，由椭圆定义可知，点P的轨迹是以C（-1，0）、D（1，0）为焦点的椭圆；
（2）求出直线AB的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式，可求AB的长；
（3）由点差法可得KOM•KAB=-

b2

a2

=-

3

4

，从而可求M的轨迹方程．

解答： 解：（1）据题意，当令动圆半径为r时，有

|PC|=r+ 1 2 |PD|= 7 2 -r

，所以|PC|+|PD|=4
由椭圆定义可知，点P的轨迹是以C（-1，0）、D（1，0）为焦点的椭圆．
令椭圆方程为

x2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)
所以a=2，b²=2²-1=3，所以P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）过D点斜率为2的直线方程为：y=2x-2．
由

y=2x-2 x2 4 + y2 3 =1

，消y得到19x²-32x+4=0，
∴|AB|=

1+22

322-4×19×4

19

=

60

19

；
（3）由点差法可得KOM•KAB=-

b2

a2

=-

3

4

，
若令M坐标为（x，y），则有

y

x

•

y

x-1

=-

3

4

，
化简可得：3x²+4y²-3x=0．

点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．