Question

2．已知函数f（x）=4^-x-a•2^1-x-3在x∈[-2，+∞）时有最小值是-4，求实数a的值．

Answer 1

分析 设t=2^-x（由x≥-2可得，0＜t≤4），则函数y=g（t）=t²-2at-3=（t-a）²-3-a²，求出对称轴，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得a．

解答 解：设t=2^-x（由x≥-2可得，0＜t≤4），
则函数y=g（t）=t²-2at-3=（t-a）²-3-a²，
对称轴为t=a，
当a≤0时，（0，4]为增区间，无最小值；
当0＜a＜4时，t=a时，取得最小值-3-a²=-4，解得a=1；
当a≥4时，（0，4]为减区间，t=4时取得最小值13-8a=-4，
解得a=$\frac{17}{8}$＜4，不成立．
综上可得a的值为1．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次函数的最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．