Question

1．已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得$\frac{丨BE丨}{丨BN丨}$=$\frac{4}{5}$，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）证明：设D（x₀，0），（-2＜x₀＜2），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），y₀＞0，
由M，N在椭圆上，则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}=1$，则x₀²=4-4y₀²，
则直线AM的斜率k_AM=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，直线DE的斜率k_DE=-$\frac{{x}_{0}+2}{{y}_{0}}$，
直线DE的方程：y=-$\frac{{x}_{0}+2}{{y}_{0}}$（x-x₀），
直线BN的斜率k_BN=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，直线BN的方程y=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{x}_{0}+2}{{y}_{0}}（x-{x}_{0}）}\\{y=-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4{x}_{0}+2}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}{y}_{0}}\end{array}\right.$，
过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，
则丨EH丨=$\frac{4{y}_{0}}{5}$，
则$\frac{丨EH丨}{丨ND丨}$=$\frac{4}{5}$，
∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题．