Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点(2，

2

)
（1）求函数的解析式．
（2）求函数的定义域与值域．
（3）判断函数单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：幂函数的性质,幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，
（2）由解析式直接求出定义域和值域，
（3）利用函数的单调性的定义证明即可．

解答： 解：（1）由题意可设f（x）=x^α，又函数图象过定点（2，

2

），∴2^α=

2

，∴α=

1

2

，
∴f（x）=

x

，
（2）由函数f（x）=

x

可知定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞），
（3）f（x）为增函数，理由如下
设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

x1

-

x2

=

x1-x2

x1 + x2

＜0，
∴f（x）为增函数．

点评：本题考查的是幂函数的图象与性质以及函数的单调性的证明，属于基础题．