Question

13．已知各项均为正数的数列{a_n}满足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），且a₁=a₂₀，则a₁的最大值是512．

Answer 1

分析 由各项均为正数的数列{a_n}满足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），可得：${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，或a_n+1a_n=1．又a₁=a₂₀，a₁₉a₂₀=1，应该使得a₁₉取得最小值．利用等比数列的通项公式及其已知条件即可得出．

解答 解：∵各项均为正数的数列{a_n}满足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），
∴${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，或a_n+1a_n=1．
又a₁=a₂₀，a₁₉a₂₀=1，应该使得a₁₉取得最小值．
根据${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，可得数列{a_n}为等比数列，公比为$\frac{1}{2}$（n≤19）．
取a₁₉=${a}_{1}×（\frac{1}{2}）^{18}$，a₁＞0．又a₁₉=$\frac{1}{{a}_{20}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$，
∴${a}_{1}×（\frac{1}{2}）^{18}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$，
解得a₁=2⁹=512．
∴a₁的最大值是512．
故答案为：512．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于中档题．