Question

18．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{-{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，若2≤f（f（x））≤6，则实数x的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用换元法设t=f（x），结合分段函数的表达式进行求解即可．

解答 解：设t=f（x），则不等式等价为2≤f（t）≤6，
当t≥0是，f（t）=-t²≤0，不满足条件．
当t＜0时，由2≤f（t）≤6，得2≤t²+t≤6，
即$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+t≥2}\\{{t}^{2}+t≤6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+t-2≥0}\\{{t}^{2}+t-6≤0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{t≥1或t≤-2}\\{-3≤t≤2}\end{array}\right.$，
得-3≤t≤-2或1≤t≤2，∵t＜0，
∴-3≤t≤-2，
当x＜0时，得-3≤x²+x≤-2，$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+3≥0}\\{{x}^{2}+x+2≤0}\end{array}\right.$，此时无解，
当x≥0时，得-3≤-x²≤-2，即2≤x²≤3，此时$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{3}$，
故答案为：[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用换元法进行转化是解决本题的关键．