Question

已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1，λ₂=2，其对应的一个特征向量分别为e₁=

1 1

，e₂=

1 0

．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求圆C：x²+y²=1在矩阵A所对应的线性变换作用下得到曲线C'的方程．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,几种特殊的矩阵变换

专题：矩阵和变换

分析：（Ⅰ）根据题意直接带入计算即可求得矩阵A；
（Ⅱ）先设圆C上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M'（x'，y'），直接计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）设矩阵A=

ab cd

，
依题意，得

Ae1=λ1e1 Ae2=λ2e2

 
∴

a+b=1 c+d=1 a+0=2 c+0=0.

 
解得

a=2 b=-1 c=0 d=1.

 
∴A=

2 -1 0 1

．
（Ⅱ）设圆C上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M'（x'，y'），
∴

x′=2x-y y′=y.

解得

x= x′+y′ 2 y=y′.

  
又∵x²+y²=1，
∴(

x′+y′

2

)2+y′2=1，
∴曲线C′的方程为x²+2xy+5y²=4．

点评：本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．