Question

设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x²-8x+1，若f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N，当x∈M∩N时，则函数F（x）=x²f（x）+x[f（x）]²的最大值是（　　）

• A、0
• B、-

  5

  16

• C、

  4

  9

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据绝对值不等式的解法求出集合M，N，以及M∩N，然后求出函数F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：f（x）=2|x-1|+x-1=

3x-3， x≥1 1-x， x＜1

，
若x≥1，由f（x）≤1得3x-3≤1得x≤

4

3

，
此时得1≤x≤

4

3

，
若x＜1，由f（x）≤1得1-x≤1得x≥0，
此时得0≤x＜1．
综上，原不等式的解集M为[0，

4

3

]．
由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-

1

4

≤x≤

3

4

，
∴N=[-

1

4

，

3

4

]，
∴M∩N=[0，

3

4

]．
∵当x∈M∩N时，f（x）=1-x，
F（x）=x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]=x（1-x）
=

1

4

-（x-

1

2

）²≤

1

4

，当且仅当x=

1

2

时，取得最大值

1

4

．
则函数的最大值为

1

4

．
故选：D．

点评：本题主要考查函数最值的求解，根据绝对值不等式的解法以及一元二次函数以及一元二次不等式的性质是解决本题的关键．，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．