Question

已知p：关于t的不等式

∫

t 0

（2x+1）dx-m＞0对任意t∈[1，2]恒成立；q：f（x）=

x2，x≥0 x-1，x＜0

，不等式f（m²）＞f（m+2）成立，若p∨q为真，p∨q为假，求m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,定积分

专题：简易逻辑

分析：先根据定积分求解方法，函数f（x）的单调性求出p，q下的m的取值范围，然后根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以有p真q假，和p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可．

解答： 解：p：∫0t(2x+1)dx=(x2+x)|0t=t²+t；
∴原不等式变成：t²+t-m＞0；
∴m＜t²+t对任意t∈[1，2]恒成立；
t2+t=(t+

1

2

)2-

1

4

，∴函数t²+t在[1，2]上单调递增，∴该函数的最小值为2；
∴m＜2；
q：由f（x）解析式知函数x²在[0，+∞）上单调递增，x-1在（-∞，0）上单调递增，且x-1＜0，x²≥0；
∴函数f（x）在R上是增函数；
∴由f（m²）＞f（m+2）得m²＞m+2，解得m＜-1，或m＞2；
若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假；
∴p真q假时，

m＜2 -1≤m≤2

，∴-1≤m＜2；
p假q真时，

m≥2 m＜-1，或m＞2

，∴m＞2；
∴m的取值范围为[-1，2）∪（2，+∞）．

点评：考查定积分的计算，根据二次函数的单调性求二次函数的最值，分段函数的单调性，根据单调性解不等式，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．