Question

6．若对于任意实数x、y总有f（xy）=f（x）+f（y），则下列各式中错误的是（　　）

• A． f（1）=0
• B． f（$\frac{1}{x}$）=f（x）
• C． f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）
• D． f（xⁿ）=nf（x）（n∈N）

Answer 1

分析 利用对于任意实数x、y总有f（xy）=f（x）+f（y），对四个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：A、因为对于任意实数x，y，总有f（xy）=f（x）+f（y），
则令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0，正确；
B、令y=$\frac{1}{x}$，xy=1，则f（1）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，所以f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），不正确；
C、以$\frac{1}{y}$代y，则f（$\frac{x}{y}$）=f（x）+f（$\frac{1}{y}$）=f（x）-f（y），正确；
D、f（x²）=f（x•x）=f（x）+f（x）=2f（x）
f（x³）=f（x•x²）=f（x）+f（x²）=f（x）+2f（x）=3f（x）
故可知D正确．
故选：B．

点评 本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．