Question

15．（1）已知x，y∈R⁺，求$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$的最大值；
（2）求满足2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$≥k$\sqrt{4a+b}$对a，b∈R⁺有解的实数k的最大值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得（$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$）²=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤2，由此能求出$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$的最大值．
（2）设$\sqrt{a}$=m＞0，$\sqrt{b}$=n＞0，a=m²，b=n²，由此利用均值定理能求出满足2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$≥k$\sqrt{4a+b}$对a，b∈R⁺有解的实数k的最大值．

解答 解：（1）∵x，y∈R⁺，
∴（$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$）²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤2，
当且仅当x=y时，对等号，
∴当x=y时，$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$的最大值为$\sqrt{2}$．
（2）∵a，b∈R⁺，∴设$\sqrt{a}$=m＞0，$\sqrt{b}$=n＞0，a=m²，b=n²，
∴2m+n≥$2\sqrt{2mn}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{mn}$，
∵满足2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$≥k$\sqrt{4a+b}$对a，b∈R⁺有解的实数k的最大值，
∴2m+n≥k$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$≥k$\sqrt{2\sqrt{4{m}^{2}{n}^{2}}}$=2k$\sqrt{mn}$，
∴2k$≥2\sqrt{2}$，解得k$≥\sqrt{2}$，
∴满足2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$≥k$\sqrt{4a+b}$对a，b∈R⁺有解的实数k的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查代数式的最大值的求法，考查满足不等式的实数的最大值的求法，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．