Question

20．若复数z=$\frac{2}{（1-i）^{2}}$+$\frac{3+i}{1-i}$的虚部为m，函数f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$，x∈[2，3]的最小值为n．
（1）求m，n；
（2）求由曲线y=x，直线x=m，x=n以及x轴所围成平面图形的面积．

Answer 1

分析 （1）由复数代数形式的乘除运算化简求得m，利用基本不等式求最值求得n；
（2）根据定积分的几何意义即可求出．

解答 解：（1）z=$\frac{2}{（1-i）^{2}}$+$\frac{3+i}{1-i}$=$\frac{2}{1-1-2i}$+$\frac{（3+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=i+1+2i=1+3i，
∴m=3，
∵f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+1=5，当且仅当x=3时取等号，
∴n=5，
（2）由曲线y=x，直线x=m，x=n以及x轴所围成平面图形的面积S=${∫}_{3}^{5}$xdx=$\frac{1}{2}$x²|${\;}_{3}^{5}$=$\frac{1}{2}$（25-9）=8

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了函数值域的求法，和定积分的计算，是中档题．