Question

10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量$\overrightarrow{m}$=（a，$\sqrt{3}$b）与$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinB）平行．
（I）求A；
（II）若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求该三角形的周长．

Answer 1

分析 （I）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，再利用正弦定理即可得出．．
（II）S=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，化为：bc=6．由余弦定理可得：$（\sqrt{7}）^{2}$=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，化简可得b+c．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，
由正弦定理可得：sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，sinB≠0，可得tanA=$\sqrt{3}$，
A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）S=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，化为：bc=6．
由余弦定理可得：$（\sqrt{7}）^{2}$=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，解得b²+c²-bc=7，∴（b+c）²-3bc=7，可得b+c=5．
∴三角形的周长=5+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、向量共线定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．