Question

11．曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数的取值范围是（　　）

• A． $\frac{5}{12}$＜k＜$\frac{3}{4}$
• B． $\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$＜k＜$\frac{3}{4}$
• D． 0＜k＜$\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．

解答 解：由y=k（x-2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$两边平方得x²+（y-1）²=4，
则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．
当直线l过点（-2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，
此时1=-2k+4-2k，
解得k=$\frac{3}{4}$，
当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心（0，1）到直线kx-y+4-2k=0的距离d=$\frac{|3-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
解得k=$\frac{5}{12}$，
要使直线l：y=kx+4-2k与曲线y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$有两个交点时，
则直线l夹在两条直线之间，
因此$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．