Question

14．（1）证明：x∈[0，1]时，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x≤sinx≤x$
（2）若不等式${x^2}+{m^2}x+2（x+2）cosx≤-\frac{1}{2}{x^3}+3mx+4$对x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）记F（x）=sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，可求得F′（x）=cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，分x∈（0，$\frac{π}{4}$）与x∈（$\frac{π}{4}$，1）两类讨论，可证得当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$x；记H（x）=sinx-x，同理可证当x∈（0，1）时，sinx≤x，二者结合即可证得结论；
（2）把cosx利用倍角公式化为$si{n}^{2}\frac{x}{2}$，结合（1）中的结论把不等式${x^2}+{m^2}x+2（x+2）cosx≤-\frac{1}{2}{x^3}+3mx+4$对x∈[0，1]恒成立转化为（m²-3m+2）x≤0在x∈[0，1]上恒成立．即m²-3m+2≤0恒成立，求解不等式得答案．

解答 （1）证明：记F（x）=sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，则F′（x）=cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当x∈（0，$\frac{π}{4}$）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函数，
当x∈（$\frac{π}{4}$，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[$\frac{π}{4}$，1]上是减函数，
又F（0）=0，F（1）＞0，∴当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1＜0，∴H（x）在[0，1]上是减函数．
则H（x）≤H（0）=0，即sinx≤x．
综上，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x≤sinx≤x$；
（2）当x∈[0，1]时，不等式${x^2}+{m^2}x+2（x+2）cosx≤-\frac{1}{2}{x^3}+3mx+4$恒成立，
即$\frac{1}{2}{x}^{3}+{x}^{2}+（{m}^{2}-3m）x-4+2（x+2）$$•（1-2si{n}^{2}\frac{x}{2}）$≤0恒成立，
也就是$\frac{1}{2}{x}^{3}+{x}^{2}+（{m}^{2}-3m）x+2x-4（x+2）•si{n}^{2}\frac{x}{2}≤0$恒成立，
即$\frac{1}{2}{x}^{3}+{x}^{2}+（{m}^{2}-3m）x+2x-4（x+2）•\frac{1}{8}{x}^{2}$≤0恒成立，
则（m²-3m+2）x≤0在x∈[0，1]上恒成立．
∴m²-3m+2≤0恒成立，解得1≤m≤2．
∴实数m的取值范围是[1，2]．

点评 本题考查不等式的证明，考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，灵活利用（1）的结论是解答的关键，是中档题．