Question

12．已知函数f（x）=x²-3x+2+klnx，其中k∈R
（Ⅰ）试讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由
（Ⅱ）若对任意的x＞1，不等式f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导函数，令g（x）=2x²-3x+k，对k分类讨论求得导函数在定义域内零点的个数，从而得到原函数极值点的个数；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中函数的单调性及f（1）=0分析得答案．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2x-3+$\frac{k}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+k}{x}$（x＞0），
令g（x）=2x²-3x+k，△=9-8k，
若9-8k≤0，即k≥$\frac{9}{8}$，g（x）≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值点；
若9-8k＞0，即k$＜\frac{9}{8}$，则当g（0）=k≤0时，g（x）=2x²-3x+k在（0，+∞）上有一个零点${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{9-8k}}{4}$．
当x∈（0，x₂）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，当x∈（x₂，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，x₂）上为减函数，在（x₂，+∞）上为增函数，f（x）有一个极小值点；
当g（0）=k＞0，即0＜k＜$\frac{9}{8}$时，g（x）=2x²-3x+k在（0，+∞）上有两个零点${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{9-8k}}{4}$，${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{9-8k}}{4}$．
当x∈（0，x₁），（x₂，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x₁，x₂）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
f（x）为减函数，∴f（x）有两个极值点．
综上，当k$≥\frac{9}{8}$时，f（x）无极值点；当k≤0时，f（x）有一个极值点；当0＜k＜$\frac{9}{8}$时，f（x）有两个极值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k≥$\frac{9}{8}$时，f（x）在（1，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（1）=0，不等式f（x）≥0恒成立；
当1≤k$＜\frac{9}{8}$时，g（1）=k-1≥0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，不等式f（x）≥0恒成立；
当k＜1时，g（1）=k-1＜0，∴f（x）在（1，x₂）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，不合题意．
∴实数k的取值范围是[1，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．