Question

椭圆

x2

4a

+

y2

a2+1

=1（a＞0）的焦点在x轴上，则它的离心率的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定a的范围，求出椭圆的离心率，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：∵椭圆

x2

4a

+

y2

a2+1

=1（a＞0）的焦点在x轴上，
∴4a＞a²+1，
∴2-

3

＜a＜2+

3

．
椭圆的离心率e满足：e²=

4a-a2-1

4a

=1-

1

4

（a+

1

a

），
∵2-

3

＜a＜2+

3

．
∴a+

1

a

≥2，
∴e²≤1-

1

2

=

1

2

，当且仅当a=

1

a

，即a=1时，e²有最大值

1

2

．
由此可得椭圆的离心率e的最大值为

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．