Question

已知函数f（

x+1

x

）=x⁴+

1

x4

，x∈R，则函数f（x）的递减区间是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：数形结合法,函数的性质及应用

分析：先求出f（x）的解析式，根据函数f（x）的特征，画出函数图象，根据求出函数的单调减区间．

解答： 解：设

x+1

x

=t（t≠1），则x=

1

t-1

；
∴f（t）=(

1

t-1

)4+（t-1）⁴（t≠1），
即f（x）=

1

(x-1)4

+（x-1）⁴（x≠1）；
∵f（x）=

1

(x-1)4

+（x-1）⁴≥2

1 (x-1)4 •(x-1)4

=2（x≠1），
当x=2或0时，“=”成立，
∴f（x）在x=0或2时取得最小值2，且图象关于x=1对称；画出函数图象，如图所示；
∴根据函数的图象得出，f（x）的递减区间是（-∞，0]和（1，2]．
故答案为：（-∞，0]和（1，2]．

点评：本题考查了求函数的解析式以及求函数的单调区间的问题，根据函数的解析式画出函数图象，是解题的关键，是中档题．