Question

1．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最小值1和最大值4，设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）-kx≥0在区间[$\frac{1}{2}$，2]上有解．求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可求出二次函数g（x）的对称轴为x=1，从而判断出g（x）在[2，3]上单调递增，从而有$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，这样即可求出a=1，b=0；
（2）根据条件可得$1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}≥k$在区间[$\frac{1}{2}$，2]上有解，可设$h（x）=1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$，$h′（x）=\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$，这样便可得到h（$\frac{1}{2}$）=1为h（x）在[$\frac{1}{2}，2$]上的最大值，从而求出k≤1，即得出k的取值范围．

解答 解：（1）g（x）的对称轴为x=1；
∵a＞0；
∴g（x）在[2，3]上单调递增；
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1+b=1}\\{g（3）=3a+1+b=4}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（2）g（x）=x²-2x+1，$f（x）=x+\frac{1}{x}-2$；
∴由f（x）-kx≥0得，$1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}≥k$在区间$[\frac{1}{2}，2]$上有解；
设h（x）=$1+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$，$h′（x）=-\frac{2}{{x}^{3}}+\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$；
∴$x∈[\frac{1}{2}，1）$时，h′（x）＜0，x∈（1，2]时，h′（x）＞0；
∴x=1时，h（x）取最小值，又x=$\frac{1}{2}$时，h（x）=1，x=2时，h（x）=$\frac{1}{4}$；
∴h（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值为1；
∴1≥k；
即k≤1；
∴实数k的取值范围为（-∞，1]．

点评 考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，根据单调性求函数的最值，以及根据导数求函数在闭区间上的最大值的方法，注意正确求导．