Question

在等比数列{a_n}中，已知a₁=2，且a₂，a₁+a₃，a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n²-a_n}的前n项和为S_n，记b_n=

2n

Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等比数列的前n项和,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据a₂，a₁+a₃，a₄成等差数列得到2（a₁+a₃）=a₂+a₄，应用等比数列通项公式，化简求出公比，写出通项a_n；
（Ⅱ）运用分组求和求出S_n，注意分成两组都是等比数列，并运用等比数列求和公式，然后求出b_n，并对b_n拆成两项的差，运用裂项相消求和即可求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知得：2（a₁+a₃）=a₂+a₄，
即2（a₁+a₁q²）=a₁q+a₁q³，解得q=2，
又∵a₁=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
S_n=（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁+a₂+…+a_n）
=（4+4²+4³+…+4ⁿ）-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

4(1-4n)

1-4

-

2(1-2n)

1-2

=

4

3

（4ⁿ-1）-2（2ⁿ-1）=（2ⁿ-1）（

4

3

•2ⁿ-

2

3

）=

2

3

（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），
又b_n=

2n

Sn

，
∴b_n=

3

2

•

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

3

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n
=

3

2

[（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+（

1

23-1

-

1

24-1

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）
+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）]
=

3

2

（1-

1

2n+1-1

）=

3

2

-

3

2n+2-2

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，以及等差数列的性质，考查两种数列求和方法：分组求和与裂项相消求和，这是两种重要的求和方法，务必掌握．