Question

13．设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若函数f（x）≥m恒成立，求m的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）将绝对值符号去掉，函数写成分段函数，再分段求出不等式的解集，即可确定不等式的解集；
（2）求函数的最小值，即可求出m的最大整数值．

解答 解：（1）函数f（x）=|2x+1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x≤-\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}＜x＜4}\\{x+5，x≥4}\end{array}\right.$，|2x+1|-|x-4|＞2，
令-x-5＞2，则x＜-7，∵x≤-$\frac{1}{2}$，∴x＜-7；
令3x-3＞2，则x＞$\frac{5}{3}$，∵-$\frac{1}{2}$＜x＜4，∴$\frac{5}{3}$＜x＜4；
令x+5＞2，则x＞-3，∵x≥4，∴x≥4，
∴f（x）＞2的解集为：{x|x＜-7或x＞$\frac{5}{3}$}；
（2）函数f（x）=|2x+1|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-5，x≤-\frac{1}{2}}\\{3x-3，-\frac{1}{2}＜x＜4}\\{x+5，x≥4}\end{array}\right.$，的图象如图：

函数的最小值为：f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，
函数f（x）≥m恒成立，m的最大整数值为：-5．

点评 本题考查绝对值函数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，属于中档题．