Question

10．给定两个命题，p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根．如果p与q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围为（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

Answer 1

分析 根据二次不等式恒成立，求出p为真时，0≤a＜4，根据二次方程有根的充要条件，可得命题q为真时，a≤$\frac{1}{4}$，进而得到答案．

解答 解：当a=0时，ax²+ax+1=1＞0恒成立；
当a≠0时，若ax²+ax+1＞0恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，即0＜a＜4，
综上可得：命题p为真时，0≤a＜4，
若方程x²-x+a=0有实数根，则△=1-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$，
即命题q为真时，a≤$\frac{1}{4}$，
∵p与q中有且仅有一个为真命题，
当p真q假时，$\frac{1}{4}$＜a＜4，
当p假q真时，a＜0，
综上可得：实数a的取值范围为：（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）
故答案为：（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次不等式恒成立和二次方程根的个数判断，难度中档．