Question

1．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若向量$\overrightarrow m=（2sinA，\sqrt{3}），\;\;\overrightarrow n=（a，c）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（1）求角C的大小；
（2）设c=5，△ABC的面积是$2\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用向量共线的性质可得$\sqrt{3}$a=2csinA利用正弦定理化简可得$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合C为锐角，即可得解C的值．
（2）利用三角形面积公式可求ab=8，由余弦定理得（a+b）²-3ab=25，进而可求a+b的值，即可得解△ABC的周长．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由∵向量$\overrightarrow m=（2sinA，\sqrt{3}），\;\;\overrightarrow n=（a，c）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴$\sqrt{3}$a=2csinA，---------------------------------------------2分
∴得：$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴$\sqrt{3}=2sinC$
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴$C=\frac{π}{3}$（C为锐角）．------6分
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴ab=8，-------------------7分
由余弦定理得：a²+b²-2abcosC=c²，----------------------------8分
即：a²+b²-ab=25，（a+b）²-3ab=25，------------------------10分
∴（a+b）²=49，可得：a+b=7，
∴△ABC的周长为a+b+c=12．--------------------------------------------------12分．

点评 本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．