Question

14．设函数f（x）=|x+$\frac{6}{a}$|+|x-a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）若f（3）＜7，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由由a＞0，有f（x）=|x+$\frac{6}{a}$|+|x-a|≥丨（x+$\frac{6}{a}$）-（x-a）丨=$\frac{6}{a}$+a≥2$\sqrt{6}$，即可证明：f（x）≥2$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）f（3）＜7，当a＞3时，f（3）=a+$\frac{6}{a}$，由f（3）＜7，求得3＜a＜6，0＜a≤3时，f（3）=6-a+$\frac{6}{a}$，求得2＜a≤3，即可求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：由a＞0，有f（x）=|x+$\frac{6}{a}$|+|x-a|≥丨（x+$\frac{6}{a}$）-（x-a）丨=$\frac{6}{a}$+a≥2$\sqrt{6}$，
当且仅当$\frac{6}{a}$=a，即a=$\sqrt{6}$时，取等号，
∴f（x）≥2$\sqrt{6}$；…（5分）
（Ⅱ）f（3）=3+$\frac{6}{a}$+|3-a|．
当a＞3时，f（3）=a+$\frac{6}{a}$，由f（3）＜7，得1＜a＜6，
∴3＜a＜6．…（8分）
当0＜a≤3时，f（3）=6-a+$\frac{6}{a}$，由f（3）＜7，得a＞2或a＜-3，
∴2＜a≤3，…（11分）
综上，a的取值范围是（2，6）．…（12分）

点评 本题考查含绝对值不等式的解法，考查基本不等式的应用，一元二次不等式不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题．