在极坐标系中.已知曲线C:ρ=2cosθ.将曲线C上的点向左平移一个单位.然后纵坐标不变.横坐标伸长到原来的2倍.得到曲线C1.又已知直线l:$\left\{\begin{array}{l}x=tcos\frac{π}{3}\\ y=\sqrt{3}+tsin\frac{π}{3}\end{array}$.且直线l与曲线C1交于A.B两点．(1)求曲线C1的直角坐标方程.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C₁，又已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=tcos\frac{π}{3}\\ y=\sqrt{3}+tsin\frac{π}{3}\end{array}$（t是参数），且直线l与曲线C₁交于A，B两点．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点P（0，$\sqrt{3}$），求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$．

分析（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，化曲线C₁的方程为（x-1）²+y²=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1中，得$\frac{13}{4}{t}^{2}+12t+8=0$，运用韦达定理，参数的几何意义，即可求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$．

解答解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x²+y²-2x=0即（x-1）²+y²=1．
∴曲线C₁的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴曲线C表示焦点坐标为（-$\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），长轴长为4的椭圆
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1中，得$\frac{13}{4}{t}^{2}+12t+8=0$．
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
∴t₁+t₂=-$\frac{48}{13}$，t₁t₂=$\frac{32}{13}$，
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=|$\frac{{t}_{1}{+t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{3}{2}$．

点评本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，属于中档题．

练习册系列答案

11．已知集合{a|0≤a＜4，a∈N}，用列举法可以表示为{0，1，2，3}．

8．给出下列四个结论：
①已知直线l₁：ax+y+1=0，l₂：x+ay+a²=0，则l₁∥l₂的充要条件为a=±1；
②函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx满足f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），则函数f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0）；
③已知平面α和两条不同的直线a，b，满足b?α，a∥b，则a∥α；
④函数f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的单调区间为（0，1）∪（1，+∞）．
其中正确命题的个数为（　　）

15．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．

网购金额（元）	频数	频率
（0，500]	5	0.05
（500，1000]	x	p
（1000，1500]	15	0.15
（1500，2000]	25	0.25
（2000，2500]	30	0.3
（2500，3000]	y	q
合计	100	1.00