Question

9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积，且S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$（a²-b²-c²）．
（I）求角A的大小；
（II）若a=2$\sqrt{7}$，b＞c，D为BC的中点，且AD=$\sqrt{3}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 （I）由已知及三角形面积公式，同角三角函数基本关系式可求得$tanA=-\sqrt{3}$，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．
（II）由D为BC的中点，可得$BD=DC=\sqrt{7}$，$AD=\sqrt{3}$，利用cos∠ADB=-cos∠ADC结合余弦定理可得b²+c²=20，结合$\frac{{{b^2}+{c^2}-28}}{2bc}=cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}$，可求bc=8，进而可求b，c的值，利用正弦定理即可得解sinC的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）由已知得$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}（{a^2}-{b^2}-{c^2}）$，…（1分）
∴$sinA=-\sqrt{3}\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$．…（2分）
即$sinA=-\sqrt{3}cosA$．…（3分）
∴$tanA=-\sqrt{3}$．…（4分）
又∵A∈（0，π），$A=\frac{2π}{3}$，…（6分）
（II）由cos∠ADB=-cos∠ADC得：$\frac{{A{D^2}+B{D^2}-A{B^2}}}{2AD•BD}=-\frac{{A{D^2}+D{C^2}-A{C^2}}}{2AD•DC}$，
又∵D为BC的中点，
∴$BD=DC=\sqrt{7}$，$AD=\sqrt{3}$，
∴AB²+AC²=20，即b²+c²=20．…（8分）
又∵$\frac{{{b^2}+{c^2}-28}}{2bc}=cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}$，
∴bc=8．…（9分）
又∵b＞c，∴b=4，c=2，…（10分）
∴$sinC=\frac{csinA}{a}=\frac{{2•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{2\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．