Question

5．函数f（x）的导函数为f′（x），对?x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e${\;}^{\frac{x}{2}}}$的解集是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （0，ln4）
• C． （ln4，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，继而求出答案

解答 解：∵?x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-$\frac{1}{2}$f（x）＞0，于是有（$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，则有g（x）在R上单调递增，
∵不等式f（x）＞e${\;}^{\frac{x}{2}}}$，
∴g（x）＞1，
∵f（ln4）=2，
∴g（ln4）=1，
∴x＞ln4，
故选：C．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．