题目内容
14．已知方程|ln|x-2||=m（x-2）2，有且仅有四个解x1，x2，x3，x4，则m（x1+x2+x3+x4）=$\frac{4}{e}$．分析 作出两侧函数的图象，根据对称性可知x1+x2+x3+x4=8，根据图象有4个交点可知两图象相切，利用导数的几何意义求出m即可计算答案．
解答 解：令f（x）=|ln|x-2||，g（x）=m（x-2）2，
则f（x）与g（x）的图象均关于直线x=2对称，
∴x1+x2+x3+x4=8，
作出f（x）与g（x）的函数图象如图所示：
∵方程|ln|x-2||=m（x-2）2有且仅有四个解，
∴y=m（x-2）2与y=ln（x-2）相切，
设切点为（x0，y0），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=m（{x}_{0}-2）^{2}}\\{{y}_{0}=ln（{x}_{0}-2）}\\{2m（{x}_{0}-2）=\frac{1}{{x}_{0}-2}}\end{array}\right.$，解得x0=$\sqrt{e}$+2，m=$\frac{1}{2e}$．
∴m（x1+x2+x3+x4）=$\frac{4}{e}$．
故答案为：$\frac{4}{e}$．
点评 本题考查了方程的根与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．
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