Question

5．f（x）=cosx-sinx+2sin2x的最大值是（　　）

• A． -2-$\sqrt{2}$
• B． -1
• C． 2
• D． $\frac{17}{8}$

Answer 1

分析 令t=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则t²=sin2x=1-t²，再利用二次函数的性质求得g（t）=f（x）=cosx-sinx+2sin2x=t+2（1-t² ）的最大值．

解答 解：令t=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则t²=1-sin2x，∴sin2x=1-t²，
∴g（t）=f（x）=cosx-sinx+2sin2x=t+2（1-t² ）=-2t²+t+2=-2${（t-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{17}{8}$，
∴当t=$\frac{1}{4}$时，f（x）=g（t）取得最大值为$\frac{17}{8}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．