Question

10．已知集合A={x|x²-1＜0}，B={x|（x-a）（x-a²）＜0，a∈R}，是否存在常数a，使A∪B=A，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据A∪B=A，得到B⊆A，结合集合关系进行求解即可．

解答 解：∵A∪B=A，
∴B⊆A，
∵A={x|x²-1＜0}={x|-1＜x＜1}，B={x|（x-a）（x-a²）＜0，a∈R}，
∴若a=0或a=1，则B=∅，此时满足条件B⊆A，
若0＜a＜1，则B={x|（x-a）（x-a²）＜0，a∈R}={x|a²＜x＜a}，
若满足条件．B⊆A，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤1}\end{array}\right.$，解得0＜a＜1，
若a＞1或a＜0，则B={x|（x-a）（x-a²）＜0，a∈R}={x|a＜x＜a²}，
若满足条件B⊆A，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜0}\\{{a}^{2}≤1}\\{a≥-1}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1或a＜0}\\{-1≤a≤1}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a＜0，
综上-1≤a≤0或a=1，
即存在常数a，当-1≤a≤0或a=1时，使A∪B=A．

点评 本题主要考查集合关系的应用，根据条件A∪B=A，得到B⊆A是解决本题的关键．