Question

16．数列{a_n}满足：a₃=$\frac{1}{5}$，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，则数列{a_n•a_n+1}前10项的和为$\frac{10}{21}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式，代入a_n•a_n+1，然后利用裂项相消法求和．

解答 解：由a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，得$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=2$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2为公差的等差数列，
有${a}_{3}=\frac{1}{5}$，∴$\frac{1}{{a}_{3}}=5$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=5+2（n-3）=2n-1$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，
则a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{a_n•a_n+1}前10项的和为$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2×10-1}-\frac{1}{2×10+1}）$
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{21}）=\frac{1}{2}×\frac{20}{21}=\frac{10}{21}$．
故答案为：$\frac{10}{21}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．