已知向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°.且$|{\overrightarrow{AB}}|=1$.$|{\overrightarrow{AC}}|=2$.若$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$.且$\overrightarrow{AP}� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

8．已知向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{AC}}|=2$，若$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，则实数λ的值为（　　）

A．

$\frac{4}{5}$

B．

$-\frac{4}{5}$

C．

$\frac{2}{5}$

D．

$-\frac{2}{5}$

分析根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．

解答解：∵向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{AC}}|=2$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cos120°=1×2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∵$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=0，
即$-|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+λ|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+（1-λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，
∴-1+4λ-（1-λ）=0，
解得λ=$\frac{2}{5}$．
故选：C．

点评本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键，是中档题．

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