Question

11．已知直线l₁：y=x+a分别与直线l₂：y=2（x+1）及曲线C：y=x+lnx交于A，B两点，则A，B两点间距离的最小值为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• B． 3
• C． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出A，B坐标，利用距离公式得出|AB|²关于a的函数，利用导数判断函数单调性得出函数的最小值．

解答 解：联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{y=2（x+1）}\end{array}\right.$，解得A（a-2，2a-2），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{y=x+lnx}\end{array}\right.$，解得B（e^a，e^a+a），
∴|AB|²=2（e^a-a+2）²，
令f（a）=e^a-a+2，则f′（a）=e^a-1，
∴当a＜0时，f′（a）＜0，当a＞0时，f′（a）＞0，
∴f（a）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（a）≥f（0）=3，
∴当f（a）=3时，|AB|²取得最小值18．
∴|AB|的最小值为$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查利用导数判断函数单调性与函数最值的计算，属于中档题．