Question

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin²A+sin²B=sin²C-sinAsinB．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若$c=2\sqrt{6}$，△ABC的中线CD=2，求△ABC面积S的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）正余弦定理化简可得答案．
（Ⅱ）由$|{\overrightarrow{CD}}|=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=2$可得：${\overrightarrow{CA}^2}+{\overrightarrow{CB}^2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=16$，由余弦定理求出ab的值，即可求出△ABC面积S的值．

解答 解：（I）在△ABC中，∵sin²A+sin²B=sin²C-sinAsinB，
由正弦定理得：a²+b²-c²=-ab．
由余弦定理可得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=-\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{2π}{3}$．
（II）由$|{\overrightarrow{CD}}|=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=2$，
可得：${\overrightarrow{CA}^2}+{\overrightarrow{CB}^2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=16$，
即a²+b²-ab=16．
又由余弦定理得a²+b²+ab=24，
∴ab=4．
故得△ABC面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab=\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．