Question

3．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知8a₁，3a₂，2a₂成等差数列，S₄=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，求满足T_n-1＞0的最大正整数n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等差数列的中项的性质，可得q=2，再由等比数列的求和公式，可得首项，进而得到所求通项公式；
（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次不等式的解法，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由8a₁，3a₂，2a₂成等差数列，可得
6a₂=8a₁+2a₂，即为a₂=2a₁，
即有q=2，
由S₄=5，可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=5，
代入q=2，解得a₁=$\frac{1}{3}$，
则a_n=a₁q^n-1=$\frac{1}{3}$•2^n-1；
（2）由题意可得b_n=2+（n-1）•（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{7-n}{3}$，
前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$n（2+$\frac{7-n}{3}$）=$\frac{n（13-n）}{6}$，
由T_n-1＞0，即为$\frac{（n-1）（14-n）}{6}$＞0，解得1＜n＜14．
即有满足T_n-1＞0的最大正整数n为13．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．