Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{p}$=（mlnx+ln2e²，x），$\overrightarrow{q}$=（1，$\frac{x}{2}$-m-1），函数f（x）=$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$（其中e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）当m=-1时，求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的极值情况．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可讨论函数f（x）的极值情况．

解答 解：（1）由题意，f（x）=mlnx-$\frac{1}{2}$x²-（m+1）x-ln2e²，
m=-1时，f（x）=-lnx-$\frac{1}{2}$x²-ln2e²，f′（x）=-$\frac{1}{x}$+x，
∴f（2）=4，f（2）=$\frac{3}{2}$，
∴切线方程为y-4=$\frac{3}{2}$（x-2），即3x-2y+2=0；
（2）由已知可得f′（x）=$\frac{m}{x}$+x-（m+1）（x＞0），即f′（x）=$\frac{（x-1）（x-m）}{x}$．
m＞1时，由f′（x）＞0可得函数f（x）的递增区间为（0，1），（m，+∞）；由f′（x）＜0可得函数f（x）的递增区间为（1，m），
故x=1处取得极大值f（1），且f（1）=$\frac{3}{2}$+ln2-m，x=m处取得极小值f（m），且f（m）=mlnm-$\frac{1}{2}$m²-（m+1）m-ln2e²，
∴m=1时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞），不存在极值；
0＜m＜1时，函数f（x）的递增区间为（0，m），（1，+∞），递减区间为（m，1），
故在x=m处取得极大值f（m），且f（m）=mlnm-$\frac{1}{2}$m²-（m+1）m-ln2e²，
x=1处取得极小值f（1），且f（1）=$\frac{3}{2}$+ln2-m，
m≤0时，函数f（x）的递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1），x=1处取得极小值f（1）=$\frac{3}{2}$+ln2-m，不存在极大值．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．