已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1.经过椭圆C上一点P的直线l:y=-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$x+$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$与椭圆C有且只有一个公共点.且点P横坐标为2．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)若AB是椭圆的一条动弦.且|AB|=$\frac{5}{2}$.O为坐标原点.求△AOB面积的最大值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），经过椭圆C上一点P的直线l：y=-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$x+$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$与椭圆C有且只有一个公共点，且点P横坐标为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若AB是椭圆的一条动弦，且|AB|=$\frac{5}{2}$，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．

分析（Ⅰ）由p的横坐标可得P的坐标，代入椭圆方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0得到a，b关系，进一步求得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；
（Ⅱ）设直线AB方程为：y=kx+b，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得k、b的关系，求出原点O到直线AB的距离，把△AOB的面积化为含有k的函数，然后利用换元法求得最值．

解答解：（Ⅰ）∵P（2，$\sqrt{2}$），∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1$，①
联立$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{3}{2}\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得${b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}（-\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}={a}^{2}{b}^{2}$，
化简得：$（{b}^{2}+\frac{1}{8}{a}^{2}）{x}^{2}-$$\frac{3}{2}{a}^{2}x+\frac{9}{2}{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}=0$．
由△=$\frac{9}{4}{a}^{4}-4（{b}^{2}+\frac{1}{8}{a}^{2}）（\frac{9}{2}{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}）=0$，②
联立①②得：a²=12，b²=3，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程为：y=kx+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kbx+4（b²-3）=0．
故${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{b}^{2}-3）}{1+4{k}^{2}}$，
由$\frac{25}{4}=|AB{|}^{2}=（1+{k}^{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}=（1+{k}^{2}）$$[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]$，
得${b}^{2}=3（1+4{k}^{2}）-\frac{25（1+4{k}^{2}）^{2}}{64（1+{k}^{2}）}$，
故原点O到直线AB的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴S=$\frac{5}{4}•\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
令u=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，则${S}^{2}=-\frac{625}{1024}（{u}^{2}-\frac{192}{25}u）=-\frac{625}{1024}（u-\frac{96}{25}）^{2}+9$．
又∵$u=\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=4-\frac{3}{1+{k}^{2}}$∈[1，4），当u=$\frac{96}{25}$时，S²_max=9；
当斜率不存在时，△AOB面积的最大值为$\frac{5\sqrt{23}}{8}$．
综上可知，△AOB面积的最大值为3．