Question

已知下列不等式：（1）x²＞log₂x，（2）tanx＞sinx，（3）2^x＞e^x，（4）

1

1-x

＞

1+x

，则在x∈（0，1）内上述不等式恒成立的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：不等式的解法及应用

分析：本题通过特殊值比较法、作差（作商）比较法、幂函数单调性法等方法，比较出相应各式的大小，得到符合题意的选项．

解答： 解：（1）∵x∈（0，1），
∴x²∈（0，1），log₂x∈（-∞，0）．
∴x²＞log₂x．故选项（1）正确．
（2）∵x∈（0，1），
∴sinx＞0，0＜cosx＜1．
∴tanx-sinx=

sinx

cosx

-sinx=

sinx

cosx

(1-cosx)＞0．
∴tanx＞sinx．故选项（2）正确．
（3）考察函数y=x^a（a＞0）在（0，+∞）上单调递增，
∵2＜e，∴2^a＜e^a．
∴x∈（0，1），2^x＜e^x．故选项（3）不成立．
（4）∵x∈（0，1），∴1+x＞0，1-x＞0，

1+x

＞0，

1

1-x

＞0．
∴

1+x

1 1-x

=(1-x)

1+x

=

1-x

•

1-x

•

1+x

=

1-x

•

1-x2

．
∵x∈（0，1），∴0＜

1-x

＜1，0＜

1-x2

＜1．
∴

1

1-x

＞

1+x

．故选项（4）成立．
综上，成立的选项有（1）、（2）、（4）．
故答案为C．

点评：本题考查的是不等关系判断，考查了作差法比较、作商法比较、特殊值法比较和利用已知函数单调比较．本题思维维度不大，但有一定的计算量，属于中档题．