Question

已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）²-c²，则tanC等于

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,同角三角函数间的基本关系

专题：三角函数的求值

分析：利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosC，变形后代入已知等式，化简求出cosC的值，进而求出sinC的值，即可求出tanC的值．

解答： 解：∵S=

1

2

absinC，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴2S=absinC，a²+b²-c²=2abcosC，
代入已知等式得：2S=a²+b²-c²+2ab，即absinC=2abcosC+2ab，
∵ab≠0，∴sinC=2cosC+2，
∵sin²C+cos²C=1，
∴5cos²C+8cosC+3=0，即（cosC+1）（5cosC+3）=0，
解得：cosC=-1（不合题意，舍去），cosC=-

3

5

，
∴sinC=

1-cos2C

=

4

5

，
则tanC=

sinC

cosC

=-

4

3

．
故答案为：-

4

3

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．