Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂=6，3S_n=（n+1）a_n+n（n+1）．
（1）求a₁，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）已知数列{b_n}的通项公式是b_n=

an

，c_n=b_n+1-b_n，试判断数列{c_n}是否是单调数列，并证明对任意的正整数n，都有1＜c_n≤

6

-

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）分别令n=1，n=3，建立方程即可求a₁，a₃；
（2）由数列的递推关系，构建方程组，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用单调数列的定义，结合不等式的性质即可得到结论．

解答： 解 （1）令n=1得3a₁=2a₁+2，解得a₁=2；令n=3得3（8+a₃）=4a₂+12，解得a₃=12．
（2）由已知3S_n=（n+1）a_n+n（n+1），①
3S_n+1=（n+2）a_n+1+（n+1）（n+2），②
②-①得3a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n+2（n+1），
即（n-1）a_n+1-（n+1）a_n+2（n+1）=0，③
所以na_n+2-（n+2）a_n+1+2（n+2）=0，④
④-③得na_n+2-（2n+1）a_n+1+（n+1）a_n+2=0，
即n（a_n+2-a_n+1）-（n+1）（a_n+1-a_n）+2=0，⑤
从而（n+1）（a_n+3-a_n+2）-（n+2）（a_n+2-a_n+1）+2=0，⑥
⑥-⑤得（n+1）（a_n+3-a_n+2）-2（n+1）（a_n+2-a_n+1）+（n+1）（a_n+1-a_n）=0，
即（a_n+3-a_n+2）-2（a_n+2-a_n+1）+（a_n+1-a_n）=0，
即（a_n+3-a_n+2）-（a_n+2-a_n+1）=（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n），⑦
所以数列{a_n+1-a_n}是等差数列，首项为a₂-a₁=4，公差为（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=2，
所以a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，即a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…a₃-a₂=6，a₂-a₁=4，a₁=2，相加得a_n=2+4+6+…+2（n-1）+2n=n（n+1）．
（3）数列{c_n}是单调递减数列，
证明如下：因为c_n=b_n+1-b_n=

(n+1)(n+2)

-

n(n+1)

=

2 n+1

n+2 + n

，
所以c_n+1=

2 n+2

n+3 + n+1

，要证明c_n+1＜c_n，等价于证明

n+1

n+2 + n

＞

n+2

n+3 + n+1

?n+1+

(n+1)(n+3)

＞n+2+

n(n+2)

；?

(n+1)(n+3)

-

n(n+2)

＞1?

2n+3

(n+1)(n+3) + n(n+2)

＞1；
?2n+3＞

(n+1)(n+3)

+

n(n+2)

，由

(n+1)(n+3)

=

(n+2)2-1

＜n+2，

n(n+2)

=

(n+1)2-1

＜n+1，
所以2n+3＞

(n+1)(n+3)

+

n(n+2)

，于是c_n+1＜c_n，所以c_n≤c₁=

6

-

2

．
下面证明c_n＞1?

2 n+1

n+2 + n

＞1?

2 n+1

n+2 + n

?2

n+1

＞

n+2

+

n

?2（n+1）＞2

n(n+2)

?n+1＞

(n+1)2-1

=

n(n+2)

．

点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，考查数列和不等式之间的综合应用，运算量较大，综合性较强，考查学生的计算能力．