已知点P满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{y-2x≤3}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$.则z=$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{PM}$的取值范围为( )A．[-1.14]B．[-14.1]C．[-2.13]D．[-13.2] 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．已知点P（1，-2），O（0，0），点M（x，y）满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{y-2x≤3}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，则z=$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{PM}$的取值范围为（　　）

A．

[-1，14]

B．

[-14，1]

C．

[-2，13]

D．

[-13，2]

分析由数量积的坐标运算求得线性目标函数z=x-2y-5，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答解：∵P（1，-2），O（0，0），M（x，y），
∴z=$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{PM}$=（1，-2）•（x-1，y+2）=x-1-2（y+2）=x-2y-5．
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{y-2x≤3}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

A（6，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{y-2x=3}\end{array}\right.$，解得：B（1，5），
化目标函数z=x-2y-5为y=$\frac{x}{2}-\frac{z}{2}-\frac{5}{2}$，
由图可知，当直线y=$\frac{x}{2}-\frac{z}{2}-\frac{5}{2}$分别经过A，B时，直线在y轴上的截距有最小和最大值，
可得z有最大值和最小值分别为：1，-14．
∴z=$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{PM}$的取值范围为[-14，1]．
故选：B．

点评本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

练习册系列答案

14．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{b}{x}$（a，b∈R），且对任意x＞0，都有f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0
（Ⅰ）用含a的表达式表示b；
（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求出a的取值范围，并证明f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断y=f（x）零点的个数，并说明理由．

11．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y²=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若${S_{△AOB}}=2\sqrt{3}$，则双曲线的离心率e=（　　）

A．

$\frac{3}{2}$

B．

$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

C．

D．

$\sqrt{13}$

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，左右焦点分别为F₁、F₂，圆x²+y²=2与直线x+y+b=0相交所得弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，Q为坐标原点，过点F₂作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，求$\frac{|MN|}{|OQ|}$的取值范围．

9．已知P₁（2，-1），P₂（0，5），点P在线段P₁P₂的延长线上，且|$\overrightarrow{{P}_{1}P}$|=2|$\overrightarrow{P{P}_{2}}$|，则点P的坐标（　　）

16．已知函数f（x）=-sin（x+$\frac{π}{2}$），（x∈R），下面结论错误的是（　　）

	A．	函数f（x）的最小正周期为2π		B．	函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是增函数
	C．	函数f（x）的图象关于直线x=0对称		D．	函数f（x）是奇函数

13．函数y=x²cos x在x=1处的导数是（　　）

14．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约（　　）

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